Постановка расчёта и инфраструктура Hetzner #

Дата: 12 сентября 2026
Статус: вычислительная спецификация следующего этапа исследования.
Цель: проверить, существует ли физически реализуемая область параметров, в которой первичные чёрные дыры астероидных масс дают всю тёмную материю, \[f_{\rm PBH}=1,\] при одновременном воспроизведении наблюдаемой барионной асимметрии.

1. Что именно нужно вычислить #

Задача состоит из двух разных уровней, которые нельзя смешивать.

1.1. Релятивистский исход одного начального состояния #

Для заданного начального фазового состояния холодной компоненты \(X\) решатель должен определить:

• образуется ли замкнутая маргинально захваченная поверхность;
• время образования первого apparent horizon;
• массу и, в 3D, угловой момент образовавшейся чёрной дыры;
• дальнейшую аккрецию, слияния и потерю массы;
• долю \(X\), распавшуюся до и после образования горизонта;
• распределение дочернего излучения;
• исход при отсутствии горизонта: рассеяние, осциллирующий объект, фазовое перемешивание, неразрешённый исход.

Нельзя определять образование ПЧД через \(\delta=1\), \(\delta_{\rm lin}=1.686\), максимальную плотность или остановку половинного радиуса.

Физический критерий: \[\theta_+=0,\qquad \theta_-<0\] на замкнутой поверхности, с последующим контролем её устойчивости и сходимости.

1.2. Космологическая статистика таких исходов #

После того как функция исхода \[\mathcal C[\omega]\in \{\text{BH},\text{no BH},\text{unresolved}\}\] вычисляется для начального состояния \(\omega\), необходимо усреднить по правильной мере начальных условий.

Искомая величина — не «вероятность одного пика», а конечная массовая доля: \[R_{\rm BH}\equiv \frac{\mathcal M_{\rm BH}}{\mathcal M_{\rm dec}}.\]

Для базовых параметров модели условие \(f_{\rm PBH}=1\) требует $$\boxed{ R_{\rm BH}

\frac{\epsilon_{\rm eff}}{m_XY_B} \frac{\rho_{{\rm DM},0}}{s_0} \simeq1.7\times10^{-14}. }$$

Используются: \[m_X=3\times10^{11}\ {\rm GeV},\qquad \epsilon_{\rm eff}=10^{-3},\qquad Y_B=8.7\times10^{-11}.\]

Это массовое отношение, а не заранее известная вероятность коллапса.

2. Полная ковариантная система #

Холодная компонента после пересечения потоков должна описываться фазовым распределением \(F_X(x^\mu,p^i)\), а не однопоточной пылевой гидродинамикой.

2.1. Einstein–Vlasov с распадом #

Определяем \[N_X^\mu=\int p^\mu F_X\,dP, \qquad T_X^{\mu\nu}=\int p^\mu p^\nu F_X\,dP.\]

Тогда $$G_{\mu\nu}

8\pi G\left(T^X_{\mu\nu}+T^R_{\mu\nu}\right),\[ \]\nabla_\mu T_X^{\mu\nu}=-Q^\nu, \qquad \nabla_\mu T_R^{\mu\nu}=Q^\nu.$$

Для изотропного распада в системе покоя: \[Q^\nu=m_X\Gamma_XN_X^\nu.\]

2.2. Распад макрочастиц #

Если частица эволюционируется в координатном времени \(t\), её статистический вес должен изменяться по собственному времени: $$\frac{dw_i}{dt}

-\Gamma_X\frac{\alpha}{\gamma_i}w_i,$$ где:

• \(\alpha\) — lapse;
• \(\gamma_i\) — Lorentz factor частицы относительно нормального наблюдателя среза.

Нельзя использовать один общий множитель \(e^{-\Gamma_X t_{\rm cosmic}}\) в сильном поле.

Не вводится искусственный drag \(\Gamma_X\mathbf v\).

2.3. Дочернее излучение #

Минимум нужны две предельные реализации:

1. Tightly coupled radiation — локальная relativistic radiation fluid.
2. Collisionless daughters — Boltzmann/Vlasov transport.

Настоящий \(X\)-completion должен выбрать вариант по длине свободного пробега продуктов распада.

3. Начальные данные #

Полный расчёт должен получать начальные данные из одной статистической модели, а не из искусственно выбранного Gaussian parent.

3.1. Необходимые поля #

На общей начальной гиперповерхности:

• \(\delta_X(\mathbf x)\);
• импульс/скорость \(X\);
• \(\delta_R(\mathbf x)\);
• скорость radiation;
• metric perturbations;
• внешняя кривизна;
• near-scale substructure;
• long-wavelength environment/tides.

3.2. Статистическая модель #

Первый контролируемый вариант:

• Gaussian primordial spectator field;
• заданный \(P_{S_X}(k)\);
• линейный response \(S_X\simeq q_X\delta\chi/\Lambda_X\);
• явно заданный физический \(k_{\max}\);
• явно заданная начальная velocity dispersion/free-streaming scale.

Далее необходимо добавить:

• nonlinear response \(q_2\chi^2/\Lambda_X^2+\dots\);
• primordial non-Gaussianity;
• conditional Hessian/shape distribution;
• external tidal field.

3.3. Критическая недостающая микрофизика #

До финальной статистики должны быть физически заданы:

• производство \(X\);
• момент включения \(\chi\)-модуляции;
• free-streaming cutoff;
• поведение \(f(\phi)\) после inflation;
• история \(m_\chi(\phi)\);
• каналы распада \(X\);
• thermalization/free-streaming daughters;
• washout \(W\).

Сеточный cutoff не является физическим cutoff.

4. Численная программа #

Stage A — сферический Einstein–Vlasov + decay #

Цель #

Найти настоящую границу появления горизонта и проверить, существуют ли вообще коллапсирующие профили рядом с интересующей областью параметров.

Переменные #

Сферическая система должна разрешать: \[F_X(t,r,p_r,L),\] метрику и radiation.

Сферическая симметрия не запрещает:

• stream crossing;
• несколько \(p_r\) при одном \(r\);
• распределение \(L\);
• фазовое перемешивание.

Она запрещает реальную 3D angular substructure, поэтому это не финальный abundance calculation.

Скан #

Минимальные оси параметров:

Результат: \[(\text{initial data}) \longrightarrow \{\text{BH},\text{bounce},\text{dispersion},\text{unresolved}\}.\]

Обязательные тесты #

• Schwarzschild/Kerr vacuum regression;
• homogeneous FLRW \(X+\)radiation+decay;
• homogeneous dust collapse до каустики;
• known Einstein–Vlasov collapse benchmarks;
• \(\Gamma_X\to0\);
• weak-field limit v4;
• constraint convergence;
• horizon mass/time convergence.

Stage B — 3D numerical relativity #

Цель #

Проверить влияние:

• несферичности;
• nearby spectral lobes;
• tidal field;
• multistream substructure;
• angular momentum;
• central unresolved cores.

Метод #

Рекомендуемая архитектура:

• BSSN/CCZ4 or equivalent 3+1 metric evolution;
• AMR;
• particle-mesh/phase-sheet representation of \(X\);
• local deposition of \(T_X^{\mu\nu}\);
• radiation evolution;
• apparent-horizon finder;
• checkpoint/restart.

Минимальная сходимость #

Для каждого интересного исхода:

• минимум 3 spatial resolutions;
• минимум 2 particle/phase-space resolutions;
• минимум 2 refinement layouts;
• минимум 2 outer-boundary positions;
• constraint norms;
• horizon mass/time convergence.

Один найденный horizon без сходимости — не научный результат.

Stage C — статистика редких событий #

Требуемая массовая доля порядка \(10^{-14}\) делает brute-force Monte Carlo бессмысленным.

Importance sampling #

Пусть физическая мера — \(P(\omega)\), а смещённая — \(Q(\omega)\).

Вес: \[w(\omega)=\frac{P(\omega)}{Q(\omega)}.\]

Для одинаковых representative volumes: \[\widehat R= \frac{\sum_i w_iB_i} {\sum_i w_iD_i},\] где:

• \(B_i\) — финальная масса formed horizons;
• \(D_i\) — масса \(X\), распавшаяся вне horizons.

Для peak-based sampling необходимо дополнительно учитывать:

• number density peaks;
• representative volume;
• nested peaks;
• mergers;
• exclusion/double counting.

Практическая стратегия #

1. Найти collapse boundary surrogate-моделью.
2. Использовать active learning / rare-event bias вблизи boundary.
3. Валидировать surrogate точными GR runs.
4. Использовать несколько независимых \(Q\), чтобы не пропустить другой collapse channel.
5. Только после этого вычислять mass/spin function и \(R_{\rm BH}\).

5. Почему production-расчёт не надо строить как большой MPI-кластер Hetzner #

Стандартные dedicated servers Hetzner имеют обычную Ethernet-сеть; для AX102/AX162 базовый uplink — 1 Gbit/s, 10 Gbit/s доступен как опция для части моделей.

Это не Infiniband/Slingshot-class HPC fabric.

Следствие:

• не рекомендуется strong scaling одного тесно связанного 3D AMR run на несколько обычных Hetzner nodes;
• рекомендуется держать один exact GR run внутри одного большого dedicated node;
• статистику редких событий масштабировать embarrassingly parallel:
  • run #1 → node 1;
  • run #2 → node 2;
  • …
• reducer/statistics job собирает маленькие outcome files.

Это значительно лучше соответствует нашей задаче.

6. Требования к Hetzner

6.1. VPS/Cloud: только development и 1D #

Не использовать shared-resource линии CX/CPX/CAX для длинных reproducibility runs.

Для CPU-intensive research Hetzner сам рекомендует cloud instances с Dedicated Resources (CCX).

Минимум для разработки #

• x86-64;
• 8 dedicated vCPU;
• 32 GB RAM;
• 200–300 GB NVMe;
• Ubuntu 24.04 LTS;
• IPv6 достаточно, IPv4 опционально;
• snapshot перед крупным обновлением.

Комфортный dev node #

• 16 dedicated vCPU;
• 64 GB RAM;
• 300–500 GB NVMe.

Использование:

• mode equations;
• 1D spherical prototypes;
• unit tests;
• initial-data generator;
• statistics/importance-sampling code;
• post-processing;
• build/CI.

Не планировать production 3D GR на cloud VPS.

6.2. Dedicated AX102 — лучший первый физический сервер #

Hetzner AX102 #

CPU:

• AMD Ryzen 9 7950X3D;
• 16 cores / 32 threads.

Варианты:

• AX102-1: 128 GB DDR5;
• AX102-2: 192 GB DDR5 ECC;
• NVMe: 2×1.92 TB Datacenter Gen4.

Рекомендация #

AX102-1 — минимальный разумный dedicated node.

Использование:

• full spherical GR;
• medium-resolution 3D;
• code validation;
• 128³–256³ pilot AMR calculations;
• profiling;
• particle-number scans.

Если solver устойчиво потребляет >100 GB RAM:

• перейти на AX102-2 192 GB,
• либо сразу на AX162.

Текущая цена Hetzner на 12.09.2026 #

Без VAT и IPv4:

• AX102-1: €257.30/month + €129 setup;
• AX102-2: €547.30/month + €274 setup.

Limited AX102-1-LTD при наличии значительно дешевле, но на availability рассчитывать нельзя.

6.3. AX162-3 — рекомендуемый production single-node #

Hetzner AX162 #

CPU:

• AMD EPYC 9454P;
• 48 physical cores / 96 threads;
• Zen 4.

AX162-3:

• 512 GB DDR5 ECC registered RAM;
• 4×3.84 TB NVMe Datacenter;
• raw NVMe capacity ≈15.36 TB;
• 1 Gbit/s default uplink;
• 10 Gbit/s option available.

Почему это наш основной production node #

512 GB RAM позволяет:

• значительно более глубокий AMR;
• много state variables;
• RK scratch buffers;
• particle phase space;
• horizon finder;
• frequent checkpoints;
• параллельный HDF5 output.

48 EPYC cores лучше подходят для длительного MPI/OpenMP solver, чем очень много виртуальных cloud cores.

Цена на 12.09.2026 #

Ex VAT/IPv4:

• AX162-3: €1,597.30/month;
• setup: €799.

Это дорого для постоянного использования, поэтому сервер рационально брать только после profiling AX102.

6.4. AX162-2 — промежуточный вариант #

• AMD EPYC 9454P, 48 cores / 96 threads;
• 256 GB ECC RAM;
• 2×1.92 TB NVMe.

Цена:

• €842.30/month ex VAT;
• setup €419.

Подходит, если profiling показывает: \[128\ {\rm GB}<M_{\rm peak}<220\ {\rm GB}.\]

Для output-heavy production storage может оказаться мал.

7. RAM planning

Главный ресурс 3D GR — память, не дисковое пространство.

Пусть: \[N_{\rm cell}=\text{число активных AMR cells}.\]

Практический planning value для GR + RK buffers + ghosts + radiation: \[B_{\rm cell}\sim2-5\ {\rm kB/cell}.\]

Это оценка для планирования, а не измеренный размер будущего solver.

Пример:

К этому добавить:

• particles / phase sheet;
• AMR metadata;
• temporary buffers;
• HDF5;
• horizon finder;
• MPI halos;
• OS.

Правило #

Не планировать рабочую конфигурацию выше \[70\%-75\%\] физической RAM.

Следовательно:

• 128 GB → безопасная peak memory ≈90 GB;
• 256 GB → ≈180 GB;
• 512 GB → ≈360 GB.

Если solver реально требует 500 GB, AX162-3 уже слишком мал для устойчивого production.

8. Particle/phase-space memory

Для PIC representation планировать: \[100-200\ {\rm bytes/particle}\] с учётом:

• position;
• momentum;
• weight;
• IDs;
• AMR bookkeeping;
• temporary sorting/deposition arrays.

Приблизительно:

Для cold phase sheet специализированное representation может быть существенно эффективнее, но это нужно измерять.

9. Диск

Development #

Минимум:

• 250 GB.

AX102 #

2×1.92 TB.

Рекомендация:

• RAID1 для кода + результатов, если data rate умеренный;
• RAID0 только как scratch, если checkpoints автоматически копируются наружу.

AX162-3 #

4×3.84 TB.

Рекомендация:

• RAID10 → ~7.7 TB usable: хороший production default;
• RAID0 → ~15 TB usable только для disposable scratch с отдельным backup.

Output policy #

Не сохранять full 3D state каждый timestep.

Хранить:

1. restart checkpoint;
2. reduced diagnostics;
3. selected slices/projections;
4. particle subsamples;
5. full dump только возле:
   • first crossing;
   • compaction maximum;
   • apparent-horizon formation;
   • merger/accretion events.

Цель:

• checkpoint interval 30–60 min wall clock;
• 2–3 rotating checkpoints.

10. Backup

Локальный NVMe — scratch, не архив.

Минимум:

• nightly rsync/restic;
• source + configs + seeds + logs — обязательно;
• final checkpoints — обязательно;
• intermediate bulk dumps — по необходимости.

Использовать:

• Hetzner Storage Box / Object Storage;
• либо отдельный storage server.

Для production campaign планировать минимум 10–20 TB внешнего архива, если сохраняются полные 3D checkpoints.

11. Network

Для single-node calculation 1 Gbit/s достаточно.

10 Gbit/s полезен для:

• десятков TB checkpoints;
• быстрой миграции datasets;
• central storage.

10 Gbit/s не превращает Hetzner в HPC interconnect.

Не строить тесно связанный multi-node AMR solver вокруг обычного TCP/Ethernet, пока отдельный network benchmark не покажет приемлемую scaling efficiency.

12. Software stack

Рекомендуемый OS:

• Ubuntu 24.04 LTS x86-64.

Не использовать ARM для основной линии, пока весь solver и зависимости не проверены.

Toolchain #

• GCC 13/14 or recent Clang;
• CMake;
• OpenMPI;
• parallel HDF5;
• FFTW3 + FFTW MPI;
• Boost;
• Eigen;
• Python 3.12;
• NumPy/SciPy;
• h5py;
• mpi4py;
• matplotlib;
• yt;
• git + git-lfs;
• hwloc, numactl, perf, iostat.

Reproducibility #

Каждый run должен записывать:

• git commit;
• compiler version;
• compile flags;
• host CPU;
• MPI version;
• input YAML/TOML;
• RNG seed;
• start/end time;
• wall time;
• peak RSS;
• constraint norms;
• horizon diagnostics.

13. NUMA и CPU layout

Особенно важно на EPYC.

Перед production:

lscpu
numactl --hardware
hwloc-ls

Benchmark:

• pure MPI;
• MPI × OpenMP hybrid;
• SMT on/off.

Начальная гипотеза для AX162:

• 8–24 MPI ranks;
• 2–6 OpenMP threads/rank;
• pinning по NUMA domains.

Не использовать 96 logical threads автоматически как «96 настоящих ускорений».

Выбор определяется benchmark.

14. Что заказывать прямо сейчас

Вариант A — рациональный старт #

Шаг 1 #

Hetzner Cloud CCX:

• 8–16 dedicated vCPU;
• 32–64 GB RAM.

Задачи:

• разработка spherical solver;
• initial-data/statistics;
• test suite.

Шаг 2 #

AX102-1 на 1 месяц:

• 16c/32t Ryzen 7950X3D;
• 128 GB;
• 2×1.92 TB NVMe.

Задачи:

• full spherical GR;
• 3D \(128^3\)/\(256^3\) pilot;
• profiling memory/time;
• convergence tests.

Шаг 3 #

Переход на AX162-3 только если profiling показывает необходимость:

• 512 GB;
• 48 cores;
• 15.36 TB raw NVMe.

Это мой рекомендуемый production путь.

15. Оценка бюджета

Цены ниже — текущие официальные цены Hetzner на 12.09.2026, без VAT и IPv4.

Для пользователя в Австрии к стоимости будет применяться соответствующий VAT согласно аккаунту/инвойсу Hetzner; таблица специально приведена ex-VAT, чтобы не смешивать разные налоговые режимы.

Практический бюджет первой фазы #

1 месяц AX102-1: \[\sim€386\] ex VAT с setup.

Если после этого нужен 1 месяц AX162-3: \[\sim€2,396\] ex VAT с setup.

Итого первая серьёзная вычислительная итерация: \[\boxed{\sim€2.8k\ {\rm ex\ VAT}}\] плюс backup/storage.

Rare-event campaign #

Статистику лучше масштабировать несколькими независимыми nodes.

Например:

• 4 × AX162-3 ≈ €6,389/month ex VAT + setup.

Но заказывать 4 nodes до измерения стоимости одного exact outcome не следует.

16. Почему не GPU на первом этапе

GPU имеет смысл, если:

• выбранный numerical-relativity framework действительно имеет production-quality GPU path;
• Vlasov deposition/interpolation портирован;
• apparent-horizon finder работает в данной конфигурации;
• memory model подходит.

Сейчас primary risk — корректность релятивистского matter solver, а не недостаток FLOPS.

Поэтому сначала CPU reference implementation.

После получения verified horizon-forming test:

• profiling;
• затем GPU port / GEX-class server, если memory bandwidth dominates.

17. Метрики готовности перейти с AX102 на AX162

Переходить только если выполнены все пункты:

• spherical horizon finder validated;
• energy-momentum transfer passes conservation test;
• \(128^3\) 3D run stable;
• restart works;
• constraints converge;
• measured memory model known;
• strong scaling на одном AX102 измерен;
• I/O rate измерен;
• один физически интересный 3D outcome воспроизводится.

После этого сделать одну high-memory production run на AX162.

18. Acceptance criteria научного результата

Для одного collapse outcome #

Обязательно:

• Einstein constraints converge;
• horizon time converges;
• horizon mass converges;
• particle resolution converges;
• mesh resolution converges;
• outer boundary check;
• radiation closure check;
• \(\Gamma_X\to0\) limit;
• energy/momentum source conservation.

Для статистики #

Обязательно:

• physical probability measure;
• physical \(k_{\max}\);
• importance weights;
• multiple bias distributions;
• effective sample size;
• confidence interval on \(R_{\rm BH}\);
• no double counting nested PBHs;
• resolved mass/spin distribution;
• numerical vs microphysical systematics separated.

19. Рекомендуемая архитектура campaign

Git repository
      |
      v
CCX development node
      |
      +--> unit tests
      +--> 1D GR/Vlasov
      +--> statistics / initial data
      |
      v
AX102 reference node
      |
      +--> exact spherical outcome map
      +--> 3D low-res convergence
      +--> runtime + RAM profiling
      |
      v
AX162-3 production node(s)
      |
      +--> one exact 3D run per node
      +--> independent importance-sampled states
      |
      v
small reducer node
      |
      +--> weights
      +--> mass/spin statistics
      +--> R_BH
      +--> uncertainty budget

Не использовать MPI между независимыми production nodes; параллелизм распределяется по исходам, а не по доменам одного run.

20. Итоговая рекомендация

Если начать сегодня #

Не покупать сразу AX162-3.

1. Поднять CCX dedicated-vCPU VPS для разработки.
2. Довести spherical Einstein–Vlasov+decay до первого проверенного apparent horizon.
3. Взять AX102-1.
4. Измерить:
   • RAM/cell;
   • particle RAM;
   • wall time;
   • I/O;
   • scaling.
5. Только по измерениям заказать:
   • AX162-2, если нужно 150–220 GB;
   • AX162-3, если нужно 250–450 GB.
6. Для rare-event statistics запускать несколько независимых single-node jobs.

Главный инфраструктурный вывод #

но

Для нашей задачи это приемлемо: дорогая статистика естественно параллелится по независимым начальным состояниям.

21. Актуальные источники по Hetzner #

Проверено 12 сентября 2026:

• Hetzner Cloud: dedicated-vCPU General Purpose / CCX для постоянной CPU нагрузки:
  https://www.hetzner.com/cloud/
• Cloud FAQ: dedicated resources и CPU-intensive use:
  https://docs.hetzner.com/cloud/servers/faq/
• AX102 hardware:
  https://www.hetzner.com/dedicated-rootserver/ax102/
• AX162 hardware/configurations:
  https://www.hetzner.com/dedicated-rootserver/ax162/
• AX server configuration table:
  https://docs.hetzner.com/robot/dedicated-server/server-lines/ax-server/
• Official 15 June 2026 pricing:
  https://docs.hetzner.com/general/infrastructure-and-availability/price-adjustment/

22. Научные основания #

• W. E. East, Cosmic Censorship Upheld in Spheroidal Collapse of Collisionless Matter, arXiv:1901.04498.
• E. Ames, H. Andréasson, O. Rinne, Dynamics of gravitational collapse in the axisymmetric Einstein–Vlasov system, arXiv:2010.15771.
• W. E. East, R. Wojtak, F. Pretorius, Einstein–Vlasov Calculations of Structure Formation, arXiv:1908.05683.
• J. H. P. Jackson et al., Stochastic inflation beyond slow roll: noise modelling and importance sampling, arXiv:2410.13683.
• E. de Jong, J. C. Aurrekoetxea, E. A. Lim, Primordial black hole formation with full numerical relativity, arXiv:2109.04896.
• J. C. Aurrekoetxea, K. Clough, E. A. Lim, Cosmology using numerical relativity, arXiv:2409.01939.