derivation.md — PBH-VERIFY-01, вывод и проверка формул F1–F13

Версия 1.0, 2026-09-28. Роль: PHYSICS DERIVATION. Проверяемый документ: physics_contract.md v1.0-draft. Код src/, tests/, independent_reference/, arch_A/ и исходники pbhgr не читались.

Скрипты (sympy 1.14.0, из .pydeps):

cd /root/PBH/pbh_verify_01
PYTHONPATH=.pydeps python3 derivation/core.py         # D0–D8: общая метрика (α, β, A, R)(t, r)
PYTHONPATH=.pydeps python3 derivation/backgrounds.py  # точные фоны (§3 ниже)
PYTHONPATH=.pydeps python3 derivation/center.py       # регулярный центр; наклон θ± в корне

Полный вывод: derivation/output.txt (ссылки ниже вида out:NN — номер строки этого файла). Итог: core 60 PASS / 1 FAIL (FAIL — F10 в редакции контракта, см. Р1), backgrounds 93/0, center 19/0. Время счёта: core ≈ 75 с, остальные < 30 с; пиковая память < 300 MB.

Метки: [S] аналитическое тождество, проверено символьно; [E] проверено на точном решении; [L] взято только из источника; [U] не проверено.

0. Сводка #

Дополнительно проверено: оба определения K_ij совпадают (out:19–21), K = −∇·n = K_A + 2K_B, в расширяющемся FLRW K_A = K_B = −H (out:27–28); ∇_aT^a_b = (□φ − V′)∂_bφ (out:51–52); вектор Кодамы и интерпретация потокового члена (out:86–88); уравнения источников Bloomfield+ (8a,b) и Milligan+ (6c) (out:89–90).

1. Соглашения и маршруты #

Метрика ds² = −α²dt² + A²(dr + βdt)² + R²dΩ², все функции от (t, r) без ограничений (β ≠ 0, A и R зависят от t). Независимые маршруты: (i) K_ij по формуле ADM через D_iβ_j из 3D-Кристоффелей и (ii) как −γγ∇n через 4D-Кристоффели; связи — (i) из 3D-формул контракта и (ii) из 4D-тензора Эйнштейна G_ab, вычисленного с нуля (Кристоффели → Риччи); θ± — (i) q^{ab}∇_a k_b и (ii) k^a∂_a ln R² (производная Ли элемента площади). T_ab — дифференцированием L по g^{ab}. Ни одна формула контракта не используется как вход при проверке этой же формулы.

2. Пункты D1–D8 #

D1 — F1 (Γ, U, нормали) [S] #

Предположения: α > 0, A > 0. Вывод: n_a = (−α,0,0,0) ⇒ n^a = (1,−β,0,0)/α, n·n = −1; s^a = (0,1/A,0,0), s·s = 1, s·n = 0 (out:11–14). K_A = (Aβ′ + βA′ − ∂_tA)/(αA), K_B = (βR′ − ∂_tR)/(αR) (out:24–25), откуда U = (∂_tR − βR′)/α = −R K_B (out:26). Источник: Bloomfield+ 1504.02071v1 (8a) U = e^{−φ}Ṙ, (8b) Γ = e^{−λ/2}R′ — при отображении e^φ = α, e^{λ/2} = A, β = 0 совпадает (out:90). Milligan+ 2504.02600v2 (13) — то же. Область: Γ, U — компоненты вектора ∇R в базисе (n, s); они зависят от среза (локальный буст смешивает их как 2-вектор), инвариантен только U² − Γ². Знак Γ определяется ориентацией s (рост r), а не R. В сопутствующем калибре Bloomfield Γ > 0 по предположению (монотонность R); у контракта — нет.

D2 — F2–F5 (материя) [S] #

T_ab = −2∂L/∂g^{ab} + g_ab L даёт F2 (out:43). Проекции: ρ = T(n,n), j_r = −T(n, e_r) (γ_r^a = δ_r^a, т.к. n_r = 0), S_ij = T_ij (out:44–49). Ориентация: для φ = F(t − r) в плоском пространстве j_r = F′² > 0, т.е. j_r > 0 — поток наружу (out:50). Источник: Milligan+ (7a) ρ_φ = e^{−2ϕ}φ̇²/2 + e^{−λ}φ′²/2 + V = ½Π² + ½Φ² + V ✓; (7b) их «P_φ» = ½Π² + ½Φ² − V — это радиальное напряжение S^r_r, не изотропное давление (S/3 = ½Π² − Φ²/6 − V); (9) Π ≡ φ̇e^{−ϕ} = n^a∇_aφ при β = 0 ✓, χ ≡ φ′. Область: везде, где определены срез и поле. Скалярное поле анизотропно (S^r_r ≠ S^θ_θ при Φ ≠ 0).

D3 — F6 (однородный предел) [S] #

Из того же G_ab при α = 1, β = 0, A = a, R = a S_k(r), S_k ∈ {r, sin r, sinh r}: G_tt = 3(H² + k/a²), G^r_r = G^θ_θ = −(2ä/a + H² + k/a²), □φ = −(φ̈ + 3Hφ̇) (out:55–66); отсюда Ḣ = −4π(ρ + p) + k/a² = −4πφ̇² + k/a² (out:67). На срезе K_A = K_B = −H, U = RH, Π = φ̇, ρ = ½φ̇² + V, S^r_r = S^θ_θ = ½φ̇² − V (out:58). Контракт верен для k = 0 (так и подразумевается: R = ar); см. Р5.

D4 — F7 (³R) [S] #

Из Кристоффелей γ = diag(A², R², R²sin²θ): ³R = 2[A³ − 2ARR″ − AR′² + 2RA′R′]/(A³R²) ≡ F7 (out:31–32). Проверка: A = 1, R = sin r ⇒ ³R = 6 (S³). Область: R > 0. При R → 0 оба слагаемых конечны только при Γ(0) = 1 (см. §4).

D5 — F8, F9 (связи) [S] #

Гаусс: ³R + K² − K_ijK^ij = 2G_ab n^a n^b, K² − K_ijK^ij = 4K_AK_B + 2K_B² (out:36). Кодацци: D_j(K^j_r − δ^j_r K) = −2K_B′ + 2(R′/R)(K_A − K_B) (3D-маршрут, out:37) = −G_ab n^a γ^b_r (4D-маршрут, out:38), т.е. = 8πj_r на уравнениях; деление на −2 даёт F9 (out:39). Контроль с перевёрнутым знаком (R′/R)-члена даёт ненулевой остаток (out:40). Источник: Milligan+ (6c) 8πφ̇φ′ = (λ̇R′ + 2Ṙϕ′ − 2Ṙ′)/R ⇔ 2α·𝓜 = 0 при β = 0 (символьно, out:89). Bloomfield+ (6a)–(6c) — тот же случай без потока (идеальная жидкость в сопутствующих координатах, (6c) с нулевой левой частью). Область: R > 0; точка R = 0 — 0/0 (исключается, как в контракте).

D6 — F10 (массовая форма) [S] — расхождение #

С M = (R/2)(1 − Γ² + U²), 𝓗, 𝓜 точно как в §5 контракта, тождество имеет вид

M′ − 4πR²(ρR′ + U j_r) = +(R²R′/4)·𝓗 + R³K_B·𝓜 (out:95),

а редакция контракта с «−(R²R′/4)𝓗» даёт ненулевой остаток (out:93–94). Коэффициенты единственны: член −16πρ в 𝓗 и −4πR²ρR′ в 𝓗_M фиксируют c₁ = +R²R′/4, член 4πj_r в 𝓜 и −4πR²Uj_r = +4πR³K_Bj_r фиксируют c₂ = R³K_B (out:96–97). Проверка на центре: главный член 𝓗_M = (A(0)³/4)𝓗(0)r² (out:375). Интерпретация: на уравнениях подынтегральное выражение 4πR²(ρR′ + Uj_r) = 4πR²A·T(n, K_Kodama), K^a = Γn^a − Us^a (out:86–88) — поток энергии Кодамы через срез. Это же — интегральная форма Csukás 1607.00199v2 (18) (M = m₀ + ∫J^a t_a ε_h; знаковая конвенция J там компонентно не выписана — [L]). Источники: Bloomfield+ (9c)/(12): 8πρR²R′ = [(1 + U² − Γ²)R]′ — F10 при j_r = 0 ✓. Milligan+ (11), (16)/(21j): M_MS = m_T − I₁, m_T = 4π∫ρR²R′dA, I₁ = 4π∫R²UχΠdA; так как j_r = −Πχ, M_flux = ∫4πR²Uj_r = −I₁ — полное совпадение с M_int = M_ρ + M_flux контракта. V1 (context_audit C4): в areal-калибровке M′ = 4πr²(E − rK_B·AJ) — совпадает (out:98). Область и «когда dM/dr = 4πr²ρ законно»: на уравнениях M′ = 4πR²(ρR′ + Uj_r) в любой радиальной метке. Поэтому dM = 4πR²ρ dR (инвариантная форма) верна там, где U j_r = 0 (j_r = 0 — сопутствующий срез для идеальной жидкости; для скаляра — срезы φ = const, если ∇φ времениподобен; или U = 0 — момент симметрии по времени), при R′ ≠ 0; буквальное dM/dr = 4πr²ρ требует ещё r ≡ R. В срезе Milligan+ (сопутствующем жидкости, не полю) поток ненулевой — отсюда их I₁. M_ρ не монотонна там, где R′ < 0.

D7 — F11 (Misner–Sharp) [S] #

g^{ab}∂_aR∂_bR по блоку (t, r) = Γ² − U², вычислено по обратной 4-метрике (out:70–71). Источники: Bloomfield+ (13) Γ² = 1 + U² − 2m/R ✓ (m у них определена интегралом (8c) и совпадает с M_MS на уравнениях); Maciel+ 1506.07122v2 (49) g^{ab}∂_ar∂_br = 1 − 2M/r ✓; Csukás (16) ✓; Milligan+ (12)–(13) ✓. Область: M_MS инвариантна относительно выбора среза (зависит только от сферы), в отличие от Γ и U по отдельности. Вблизи центра 1 − Γ² ~ r² — численное сокращение; относительная ошибка M ~ σ(Γ)/r².

D8 — F12, F13 (расширения) [S] #

k± = n ± s — нулевые, n·k± = −1 (out:75, 78); q^{ab} = g^{ab} + n^an^b − s^as^b — проектор на сферу (out:74); q^{ab}∇_ak_b = k^a∂_a ln R² = (2/R)(U ± Γ) (out:76–80); R²θ₊θ₋/4 = U² − Γ² = 2M/R − 1 (out:81). Источники и отображение нормировок:

• Bloomfield+ (53)–(54): k = (n + s)/√2, Θ = (√2/R)(U + Γ) ⇒ θ₊(контракт) = √2·Θ ✓; (55): «AH при U + Γ ≤ 0; при Γ > 0 это требует U < 0 ⇒ 2m/R ≥ 1».
• Maciel+ (6) Θ_(v) = (2/r)L_v r; (10)–(13) k = u + e, l = u − e, k·l = −2 — та же нормировка, что у контракта (u → n, e → s); (15) буст k′ = e^ω k, l′ = e^{−ω} l; (28)–(29) Θ_(k) = Θ_(u) + Θ_(e) = (2/R)(U + Γ) ✓; (50) K^aK_a = −Θ_(k)Θ_(l) = (4/r²)(1 − 2M/r) ⇔ F13 ✓ (текст PDF частично искажён при извлечении; форма следует из их (28), (49)).
• Csukás (13), (17): ℓ — будущая наружная, n — прошлая наружная, n·ℓ = 1 ⇒ θ^(l) = λθ₊, θ^(n) = −μθ₋, λμ = ½; (17) M = (r/2)(1 − (r²/2)θ^(n)θ^(l)) ⇔ F13 ✓. У него «trapped ⇔ θ^(l)θ^(n) < 0» — знак произведения противоположен Maciel/контракту из-за прошлой ориентации n.
• Milligan+ (30)–(31): Θ± = (√2/R)(U ± Γ) ✓ (нормировка 1/√2). В v2 есть опечатка в подписях: вектор (n + s)/√2 помечен k^{(−)}, а Θ₊ назван «ingoing»; формула (31) и фраза «AH при Θ₊ = 0, U = −Γ» согласуются с контрактом. Зависимость от нормировки/среза: θ± по отдельности меняются при k± → λk± и при смене среза через ту же сферу (буст: θ₊ → e^ηθ₊, θ₋ → e^{−η}θ₋); инвариантны знаки, нули, произведение θ₊θ₋, M_MS, 2M/R. Rθ± = 2(U ± Γ) — не инвариант среза. Область: R > 0. При R′ < 0 (Γ < 0) «θ₊» — расширение в сторону убывания R. Из U = ∓Γ в корнях следует: (0, −) возможно только при Γ > 0, (−, 0) — только при Γ < 0; (+, 0) — при Γ > 0, (0, +) — при Γ < 0. Поэтому условие «Γ > 0 в корне» в ah_candidate автоматически следует из θ₋ < 0 (избыточно, но безвредно).

Почему 2M/R = 1 недостаточно (F13 даёт только θ₊θ₋ = 0):

• плоский расширяющийся FLRW: сфера Хаббла R = 1/H — θ₋ = 0, θ₊ > 0, 2M/R = 1, PAST_MOTS, никакой ЧД (out:314–316, 338);
• сжимающийся FLRW: R = 1/|H| — θ₊ = 0, θ₋ < 0 (будущая!), но θ₊ меняет знак с + на − наружу: внутренняя граница будущей trapped-области, ah_candidate = False (out:317–319);
• закрытый FLRW в момент остановки: экватор χ = π/2 — (0, 0), 2M/R = 1 (out:341);
• Шварцшильд, изотропный срез t = const: горловина r = M/2 (R = 2M) — (0, 0), ни одного trapped-шара на срезе, хотя пространство содержит ЧД (out:244). Источники: Bloomfield+ (55) и текст к рис. 14 («second condition … Ũ must be negative … curves can cross the yellow line at large radii»); Milligan+ после (32): «when Θ₋ = 0 … past trapping horizon associated with an expanding universe»; Maciel+ §II B: космологические горизонты — past trapping horizons.

Наклон θ₊ в корне [S] (center.py, out:378–380): на уравнениях в точке θ₊ = 0 s^a∂_a(U + Γ) = [1 − 8πR²(ρ − J)]/(2R) + (−R/4)𝓗 + (−R/A)𝓜, J = j_r/A, в точке θ₋ = 0: s^a∂_a(U − Γ) = −[1 − 8πR²(ρ + J)]/(2R) + (R/4)𝓗 − (R/A)𝓜. Следствие: корень θ₊ может быть внешней границей будущей trapped-области (переход − → + наружу, критерий ah_candidate) только если 8πR²(ρ − J) < 1 (при R = 2M: 32πM²(ρ − J) < 1). Для сферы Хаббла 8πR²ρ = 3 > 1 — поэтому θ₋ там растёт наружу. Связь с «outer» по Хейворду (L_{k₋}θ₊ < 0): из Райчаудхури L_{k₊}θ₊ = −8πT(k₊,k₊) в корне ⇒ 2D_sθ₊ = −8πT₊₊ − L_{k₋}θ₊, т.е. D_sθ₊ > 0 и NEC ⇒ outer; обратное неверно [U — аналитический аргумент, символьно не проверен].

3. Эталонные фоны (backgrounds.py) — справочные данные для верификаторов #

Все величины в соглашениях контракта (K = −3H для расширения; k± = n ± s). Метрика в срезовой форме получена pull-back'ом из стандартной записи и сверена символьно; все фоны удовлетворяют 𝓗 = 𝓜 = 0 (вакуум) или 𝓗 = 0 с ρ = 3(H² + k/a²)/8π, j_r = 0 (FLRW), и F13. [E]

Во всех FLRW маргинальная сфера лежит при R* = (H² + k/a²)^{−1/2} = (8πρ/3)^{−1/2}, т.е. там, где 2M/R = 1 (численно: out:316–337, a = 1, |H| = 3/2: R* = 0.6667, 0.5547, 0.8944).

4. Регулярный центр (center.py) [S] #

Данные: A = a₀ + a₂r² + …, R = R₁r + R₃r³ + …, K_A, K_B, φ, Π чётные. Без дополнительных условий (out:348–354):

• 𝓗 имеет полюс 2(1 − Γ₀²)/(R₁²r²) ⇒ конечность ³R требует Γ(0) = 1 (R′(0) = A(0); иначе конический дефект, M ≈ (R₁/2)(1 − Γ₀²)r ≠ O(r³));
• 𝓜 имеет полюс −(K_A(0) − K_B(0))/r ⇒ требуется K_A(0) = K_B(0); тогда K_A − K_B = O(r²) автоматически;
• j_r = −2Π(0)φ₂r + O(r³) — нечётна, O(r). При Γ(0) = 1, K_A(0) = K_B(0) = k₀ (out:356–375):
• Γ = 1 + Γ₂r², Γ₂ = (3R₃ − a₂)/a₀; ³R(0) = −12Γ₂/a₀²; 𝓗(0) = ³R(0) + 6k₀² − 16πρ(0); 𝓜 = O(r);
• U = −a₀k₀r + O(r³); M_MS = O(r³); 2M/R = O(r²);
• lim M/R³ = ³R(0)/12 + k₀²/2 = (4π/3)ρ(0) + 𝓗(0)/12 — на уравнениях (4π/3)ρ_c (эталон для M_over_R3_extrapolated);
• Rθ± = ±2 − 2a₀k₀r + O(r²) — поправка O(r), а не O(r²): Rθ± не имеет определённой чётности; для cell-центра призрачные значения надо строить из U (нечётная) и Γ (чётная), а не отражать Rθ±;
• 𝓗_M = (a₀³/4)𝓗(0)r² + O(r³).

5. Первоисточники (скачаны PDF с arxiv.org, текст извлечён pdftotext) #

Недоступных источников нет. Хейворд (PRD 49, 6467, 1994) и Andersson–Mars–Simon не скачивались — утверждения об outer/inner в D8 помечены [U].

6. Обнаруженные расхождения с контрактом #

Р1 (ошибка знака, F10, §5). Заменить «𝓗_M ≡ M_MS′ − 4πR²(ρR′ + U j_r) = −(R² R′/4)·𝓗 + R³ K_B·𝓜» на «𝓗_M ≡ M_MS′ − 4πR²(ρR′ + U j_r) = +(R² R′/4)·𝓗 + R³ K_B·𝓜». Реализация 𝓗_M по левой части не затрагивается; затрагиваются любые тесты/аудиты, проверяющие правую часть.

Р2 (§9, распространение ошибок невязок неполно). 𝓗 содержит Γ (не только Γ′), 𝓜 — R′, 𝓗_M — R′. Предлагаю: σ(𝓗) = 4|Γ|σ(Γ)/R² + 4σ(Γ′)/(AR); σ(𝓜) = σ(K_B′) + |K_A − K_B|σ(R′)/R; σ(𝓗_M) = σ(M′) + 4πR²|ρ|σ(R′) (U, j_r — входные, без производных). Без первого члена σ(𝓗) занижена у центра, где 1 − Γ² ~ r² ⇒ ложные VIOLATED.

Р3 (§7, статус геометрии неполон и без порядка). Не покрыты: DOUBLY_MARGINAL/FUTURE_MARGINAL в точке сетки с разрешёнными знаками соседей и без trapped-точек (пример: изотропный Шварцшильд с узлом в r = M/2; закрытый FLRW при остановке). Предлагаю явный порядок: UNDETERMINED > AH_CANDIDATE > FUTURE_TRAPPED_NO_AH_CANDIDATE > UNCERTAIN (FUTURE_MARGINAL/DOUBLY_MARGINAL, не отнесённые к корню известного типа) > PAST_TRAPPED_ONLY > NO_TRAPPED_SPHERES; в NO_TRAPPED_SPHERES допустить изолированные маргинальные точки с корнем типа DEGENERATE и нетrapped-соседями, с флагом marginal_present = True.

Р4 (§11, ссылки [S1]–[S4] не определены). Добавить список §5 выше. Для F9 сослаться на [S1] (6c) (единственный источник с потоком), для F12–F13 — [S3] (6), (29), (50) и [S4] (17), для F11 — [S2] (13), [S3] (49), [S4] (16), для F10 — [S2] (12) (без потока) и [S1] (16) (с потоком).

Р5 (§4, F6). Явно указать k = 0 и R = a r. Для k = ±1: R = a S_k(r), Γ = S_k′, H² + k/a² = (8π/3)ρ, Ḣ = −4πφ̇² + k/a².

Р6 (§6, формулировка про dM/dr = 4πr²ρ). Уточнить: «на уравнениях dM_MS = 4πR²ρ dR (в любой радиальной метке, R′ ≠ 0) тогда и только тогда, когда U j_r = 0; запись dM/dr = 4πr²ρ дополнительно требует r ≡ R».

Р7 (§7, таблица классов и текст о нормировке). (а) «(0,0) DOUBLY_MARGINAL (бифуркационного типа)» → «(0,0): U = Γ = 0 (R′ = 0 и n·∇R = 0) — горловина Эйнштейна–Розена, экватор закрытого FLRW в момент остановки и т. п.; горизонтом быть не обязана». (б) Добавить: «(0,−) и (+,0) возможны только при Γ > 0; (−,0) и (0,+) — только при Γ < 0». (в) «θ± зависят от нормировки k±» дополнить: «…и от выбора среза через данную сферу (буст n: θ₊ → e^ηθ₊, θ₋ → e^{−η}θ₋); M_MS, θ₊θ₋, знаки и нули от среза не зависят». (г) «Rθ± → ±2» дополнить: «с поправкой −2A(0)K_B(0)·r = O(r); Rθ± не имеет чётности».

7. Открытые физические вопросы для аудиторов #

1. Адаптер Vlasov. j_r = A·J корректно, только если J в pbhgr.cosmo_ev — ортонормированный поток в n-кадре, положительный наружу (J = −T(n, s)), а q = T^θ̂_θ̂. Знак K^θ_θ в V1 должен совпадать с контрактом (K = −3H). Я это не проверял (код не читал); формула C4 согласуется с F10 при этих конвенциях (out:98).
2. Критерий V1 (C3) vs ah_candidate. «2m/R = 1 и K^θ_θ > 0» при Γ > 0 эквивалентно θ₊ = 0, θ₋ < 0, но не содержит ориентации (− внутри / + снаружи); он срабатывает и на внутренних границах trapped-областей (сжимающийся FLRW). Расхождения между V1 и модулем ожидаемы ровно там.
3. Касательные корни. В момент рождения пары MOTS θ₊ касается нуля без смены знака (там 8πR²(ρ − J) = 1); поиск по смене знака его пропустит. Ожидаемый исход — UNCERTAIN или ничего; нужен тест.
4. Необходимое условие для ah_candidate: на уравнениях 8πR²(ρ − J) < 1 в корне (§2, D8). Включать ли его как проверку самосогласованности (при нарушенных связях корень с «неправильным» наклоном — признак ошибки данных)?
5. Гиперболоидальные/Милн-срезы: Rθ₋ → 0⁻ на больших R; порог τ₋ может дать ложные FUTURE_MARGINAL/UNCERTAIN у внешней границы на плоском пространстве. Нужен тест на τ-гиперболоиде до r/τ ~ 10³–10⁵.
6. Срезы с горловиной (R′ < 0). ah_candidate только для корней θ₊ при Γ > 0. Для данных типа II (немонотонный ареальный радиус; обсуждались в литературе PBH — ссылки не проверялись) горизонт может лежать в области Γ < 0 как корень θ₋ с θ₊ < 0 — контракт его не отметит. Нужна ли симметричная трактовка (ah-кандидат относительно направления роста R, а не r)?
7. NO_TRAPPED_SPHERES ≠ «нет ЧД»: изотропный срез Шварцшильда — пример. Отчётные формулировки не должны это смешивать (контракт это уже оговаривает; предлагается включить именно этот фон в тесты).
8. Центр: M/R³ и 𝓗 у центра страдают от сокращения 1 − Γ² ~ r²; допуски тестов на M_over_R3 должны учитывать σ(Γ)/r². Эталон: lim M/R³ = (4π/3)ρ_c + 𝓗(0)/12.
9. Π других кодов: некоторые сферические коды определяют Π как (A/α)(∂_t − β∂_r)φ (отличие в множителе A); при подключении OllinSphere-BiB или иных данных конвенцию надо проверять ([U], не проверено).

8. Затраты #

Работа 2026-09-28, ≈ 22:31–22:52 UTC (~21 мин реального времени, машинный счёт ~2 мин). Доли усилий (оценка): символьные выводы и скрипты ~40 %; эталонные фоны ~20 %; чтение первоисточников и отображение конвенций ~20 %; анализ области применимости и текст ~20 %.